S = 120т.р.

дисконтирование

Используя выражение (12) получим:
тыс. руб.

Пример 9.

Ссуда должна быть погашена через год в сумме 200 тыс. руб. Кредитор попросил погасить ссуду через 270 дней после выдачи под 10% годовых. Какую сумму получит кредитор? К = 365 дн.

Дано: Решение:

S = 200 тыс. руб. Изобразим задачу графически:

n = 1г.

n 1 = 270 дн.

i = 10%

n = 365-270

S = 200т.р.

дисконтирование

n 1 = 270

n 0 = 95 дн.

n = 365

Находим количество дней, оставшихся до погашения ссуды:

n 0 = n – n 1 = 365 – 270 = 95 (дн.)

Используя выражение (12) находим:

(тыс. руб.)

Банковский или коммерческий учет (учет векселей)

При учете векселя применяется банковский учет. Согласно этому методу проценты за использование ссуды в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d . (рис. 7)

Р дисконтирование (учет) S

Рис. 7

Дисконтирование с использованием простой учетной ставки

Расчетная формула для вычисления этих процентов выводится на основе следующих рассуждений.

Пусть с 1 руб. берется годовая учетная (дисконтная, авансовая) ставка d , тогда должник получает на руки сумму (1- d ) и по истечении срока должен вернуть 1 руб. То есть, если 1 руб. – это возвращаемая сумма S , то первоначальная сумма будет равна: P = S – d (при условии что срок равен одному году), или в нашем случае, P = 1 – d . Если значение S , Р и n – произвольны, то

P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d ), (13)

где S∙n∙d – величина дисконта, а n – срок от момента учета до даты погашения векселя. Величина (1 – n∙d ) называется дисконтным множителем при использовании учетной процентной ставки. Учет посредством учетной ставки осуществляется чаще всего при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды берется точное (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды).

Для уяснения практического приложения рассмотрим дисконтный вексель. Используя номинал векселя (S ) , учетную ставку (d ) , время, оставшееся до срока погашения (t ) , вычитают дисконт (D ) – скидку с номинала, т.е. разницу между S и Р .

Затем рассчитывают выкупную (фактурную) стоимость векселя до срока погашения

(13а)

Рассмотрим пример:

Пример 10.

Владелец векселя номиналом 100 тыс. руб. и периодом обращения 105 дн., за 15 дн. до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке 20%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.

Дано: Решение:

S = 100 тыс. руб. Изобразим задачу графически:

Пер. обращение – 105 дн.

n = 15 дн.

Р - ? S = 100

n = 15 дн.

Используя выражение (13а) получим:

(тыс. руб.)

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещается начисление процентов по ставке наращения i и дисконтирование по учетной ставке d . В этом случае, полученная при учете сумма определиться как:

P` = P ∙ (1 + n ∙ i ) ∙ (1 – n` ∙ d ) (14)

S `

где P ( S ) – номинальная сумма; n – общий срок платежного обязательства; n ` - срок от момента учета до даты погашения платежа; Р` - сумма, полученная при учете обязательства.

Пример 11.

Долговое обязательство, предусматривающее уплату 400 тыс. руб. с начисленными на них 12% годовых, подлежит погашению через 90 дн. Владелец обязательства (кредитор) учел его в банке за 15 дн. до наступления срока по учетной ставке 13,5%. Полученная сумма после учета составила:

Дано: Решение:

S = 400 тыс. руб. В этой задаче номинальная стоимость

n = 90 дн. (возвращаемая сумма) принимается за

n ` = 15 дн. первоначальную: S = P (см. график).

d = 13,5%

P (S ) =400 т.р. S `

i = 12%; n = 90 дн.

d = 13,5%; n ` = 15дн.

дисконтирование

P ` -?

1. Вначале определяем наращенную сумму обязательства S ` , принимая его номинальную стоимость за первоначальную сумму:

(тыс. руб.)

2. Находим полученную после учета сумму:

(тыс. руб.)

3. Используя выражение (14) получаем ту же сумму:

(тыс. руб.)

Необходимость использования простой учетной ставки для расчета наращенной суммы возникает в случае определения номинальной стоимости векселя при выдаче ссуды. В этом случае сумма долга, проставленная в векселе, будет равна

(15)

Величина 1/(1-n ∙ d ) в этом случае является множителем наращения при использовании простой учетной ставки.

Пример 12.

Предприниматель обратился в банк за ссудой в размере 200 тыс. руб. на срок 55 дней. Банк согласен выдать указанную сумму при условии начисления процентов по простой учетной ставке, равной 20%. Найти возвращаемую сумму.

Дано: Решение:

Р = 200 тыс. руб. В этой задаче наращение производится

n = 55 дн. по простой учетной ставке.

Р = 200 S - ?

наращение

d = 20; n = 55 дн.

Используя выражение (15) получим:

тыс. руб.

Если бы сумма выдавалась под простую процентную ставку ( i ) , то наращенная сумма была бы равна тыс.руб . , т.е. наращение по учетной ставке идет быстрее и она менее выгодна должнику 206,111 < 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формулам:

, (16)

, (17)

где n –срок ссуды в годах; t – срок ссуды в днях; k – временная база.

Рассмотрим пример:

Пример 13.

Фирме необходим кредит в 500 тыс. руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возвращен в размере 600 тыс. руб. Учетная ставка 21% годовых. На какой срок банк предоставит кредит фирме? К = 365 дней

Дано: Решение:

S = 600 тыс. руб. Графическая иллюстрация задачи

Р = 500 тыс. руб.

Р = 500 т.р. S = 600 т.р.

d = 20%; n - ?

дисконтирование

При решении подобного рода задач проще воспользоваться выражением (17) , тогда срок кредита сразу получится в днях (при использовании выражения (16) срок будет выражен в долях года):

(дн.)

Величина учетной ставки рассчитывается по формулам:

, (18)

. (19)

Пример 14.

Контракт на получение ссуды в 500 тыс. руб. предусматривает возврат долга через 300 дней в сумме 600 тыс. руб. Определим примененную банком учетную ставку. К = 365 дней.

Дано: Решение:

Р = 500 тыс. руб.

S = 600 тыс. руб.

t = 300 дней

Р = 500 т.р. дисконтирование S = 600 т.р.

d = ? t = 300 дн.

По формуле (19) получим:
или d = 20,27%

При операциях с дисконтными финансовыми инструментами учетная ставка иногда может задаваться неявно: в виде общей относительной доли уменьшения номинала или как отношение дисконтированной суммы к номиналу; тогда d находится как или

(20)

где d ` - процент скидки; t – срок до учета (срок векселя).

Пример 15.

Размер удерживаемых процентов при выдаче полугодовой ссуды составляет 20% суммы ссуды. Определим заложенную учетную ставку процентов (дисконтную ставку). К = 365

Дано: Решение:

d ` = 20%

t = 0,5 г.(180 дн.)

К = 365 дн.

d - ?

Пример 16.

Государственные краткосрочные трехмесячные векселя котируются по курсу 90. Вычислим учетную ставку. К =360.

Дано: Решение:

P / S = 0,9 скидка в нашем случае: 1 – 0,9 = 0,1

d - ? тогда:

Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается ее первоначальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины

Р ; P + Pi = P (1 + i ); Р (1 + i ) + Pi = P(1+ 2i ) и т. д. до Р (1 + ni ).

Первый член этой прогрессии равен Р , разность - Pi, тогда последний член является наращенной суммой

S = P (1 + ni ),

где S – наращенная сумма денег;

Р - первоначальная сумма денег,

i - ставка простых процентов;

Pi - начисленные проценты за один период;

n – число периодов начисления процентов;

Pni – начисленные проценты за п периодов.

Данная формула является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.

Множитель (1 + ni ) называется множителем наращения.Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов

S = P + I ,

где I = Pni – сумма процентов.

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:

1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает одного года;

2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются периодически.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

где п - срок финансовой операции в долях года;

Y - число дней или месяцев в году (временная база) (англ. Year – год);

t - срок операции (ссуды) в днях или месяцах (англ. time – время).

В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:

Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы Y и способом измерения срока финансовой операции.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий процент.В отличие от него точный процентполучают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366, если год високосный.

Определение числа дней финансовой операции также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность финансовой операции определяется числом месяцев и дней операции, приближенно считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата начала и дата окончания операции считается за один день.

Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (прил. 2, 3).

Различные варианты временной базы и методов подсчета дней финансовой операции приводят к следующим схемам расчета процентов, применяемых на практике:

Точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и длительность месяцев точная);

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, в году принимается 360 дней и точная длительность месяцев);

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце).

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то величина процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:

i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .

Процентные ставки не остаются неизменными во времени, в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t , t = 1,…, k ;

п t - продолжительность t периода начисления по ставке i t , i = 1,…, k.

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле

где п 1 , п 2 , п t - продолжительности последовательных периодов реинвестирования

где i 1 , i 2 , …, i t - ставки, по которым производится реинвестирование.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму. В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается дебетовой и кредитовой части счета. Разница состоит только в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа:

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на девизор:

Следовательно, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается следующим образом:

Вычисление ставки доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов осуществляется по формуле:

На практике часто необходимо решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной наращенной сумме, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму. Такой расчет называют дисконтированиемнаращенной суммы.

Величина, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной, или текущей стоимостью, наращенной суммы.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Современная величина денежных средств эквивалентна наращенной суммев том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной наращенной сумме. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением.

Привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу финансовой операции.

Существует два вида дисконтирования:

1. Математическое дисконтирование, которое представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S = P (1 + ni ), то в обратной

Выражение 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем.Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма денег в окончательной величине долга.

Дисконт наращенной суммыравен

D = S - Р ,

где D – дисконт.

2. Банковский (коммерческий) учет. Операция учета, в том числе учета векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

В этом случае современная величина денежных средств находится

P =S (1 - nd ),

где d – учетная процентная ставка.

Множитель (1 - nd ) называется дисконтным множителем.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd .

Простая годовая учетная ставка находится

Дисконтирование по учетной ставке проводится в большинстве случаев при условии, что год равен 360 дням.

Частным случаем является процесс банковского учета, когда срок операции выражен в днях или месяцах:

Учетная ставка может использоваться для наращения:

Операции наращения и дисконтирования противоположны, но они могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Прямая и обратная задачи

В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.

Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.

Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).

Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.

При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 + i t), (1)

где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.

S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);

ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).

Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.

S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.

Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.

В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.

Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:

S = P (1 + i ). (2)

Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.

S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;

ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.

В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.

При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.

Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:

1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;

3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;

4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.

При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.

Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.

1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, руб.

2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, руб.

3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, руб.

4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, руб.

Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.

Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.

После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S 2 составит:

S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .

Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 + i t) n , (3)

где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.

Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле

Кн = (1 + i t) n , (4)

где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.

Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.

Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.

S = 75 000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99 825, руб.

ΔР = 24 825, руб.

Таким образом, коэффициент наращения составит:

Кн = (1+ 0,1 · 1) 3 = 1,331

Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.

Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.

Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.

В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (() mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.

Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле

S = P (1+ ) mn , (5)

где i – годовая номинальная ставка, %; (1+ ) mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.

S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, руб.

Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.

S = 20 000 (1+ ) 4·3 = 31 279, 1 , руб.

Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.

Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.

I эф = (1+ ) mn – 1 . (6)

Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.

i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.

Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.

Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.

а) i = (1+ ) 4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;

б) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.

Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.

Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.

В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.

Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.

Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n 1 лет она будет равна i 1 , n 2 – i 2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i 1 , i 2 , i n , а при сложных – найти их произведение.

При начислении простых процентов применяется формула

S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)

где i n – ставка простых процентов; t n – продолжительность периода начисления.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.

S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;

ΔР = 3 150, руб.

При начислении сложных процентов применяется формула

S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)

где i n – ставка сложных процентов; t n – продолжительность периода ее начисления.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.

S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.

Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:

– за первый год: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

ΔР 1 = 1 000, руб.;

– за второй год: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;

ΔР 2 = 1 050, руб.;

– за третий год: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;

ΔР 3 = 1 100, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:

ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).

В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:

– в первом году: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

– во втором году: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;

– в третьем году: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i 3 = 3 431, руб. (см. пример 10).

При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.

Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).

Срок ссуды (вклада):

t = · 365 . (9)

Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.

t = () · 365 = 730 дней (2 года).

Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.

t = () = 0,08 = 8 % годовых

Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.

Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.

Рент постнумерандо

Напомним, что рентой постнумерандо называется такой поток платежей, в котором равные по размеру взносы вносятся в конце календарного года с заданным процентом (как правило, годовым). Под наращенной суммой такой ренты понимается сумма всех ее членов (вкладов, выплат и пр.) с начисленными на них процентами на конец ее срока.

ГОДОВАЯ РЕНТА

1. Начисление процентов один раз в год.

Пусть в конце каждого года в течение n лет в банк вносятся суммы равные R . В целом эти платежи представляют собой постоянную обычную ренту постнумерандо (для графической интерпретации можно воспользоваться рис. 9, приняв период ренты равный одному году, а R 1 = R 2 =...= R n – 1 = R n ).

Члены этой ренты будут приносить проценты в течение n – 1; n – 2; ...; 2; 1 и 0 лет соответственно, а наращенная величина членов ренты к концу срока составит: R (1 + i ) n – 1 ; R (1 + i ) n – 2 ,..., R (1 + i ); R .

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то он будет представлять собой геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна

. (67)

Множитель, на который умножается R обозначается как s n,i , причем индекс указывает на продолжительность ренты – n и величину процентной ставки – i . Этот множитель называется коэффициентом наращения ренты и представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1.

.(68)

Таким образом

S = R·s n , i . (69)

Формула (67) может применяться и для расчета наращенной суммы ренты постнумерандо с периодом, отличающимся от года. В этом случае вместо n подставляется число периодов, а вместо i –ставка за период.

2. Начисление процентов m раз в год.

Здесь члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (сразу перепишем его в обратном порядке)

R , R (1 + j /m ) m , R (1 + j /m ) 2·m , … , R (1 + j /m ) (n – 1)n ,

где j – номинальная ставка процента.

Сумма членов этой геометрической прогрессии равна

. (70)

Пример 46.

В конце каждого года клиент может вложить в банк 1 млн. руб. Какая сумма будет на счете через 3 года? i = 4%

Графическая иллюстрация

0 1 2 3

наращение S = ?

p - СРОЧНАЯ РЕНТА

1. Начисление процентов один раз в год (m = 1).

Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент же начисляется один раз в год. Если годовая сумма платежей равна R , то каждый раз выплачивается R/p . Общее число членов ренты равно n·p . Ряд членов этой ренты с начисленными процентами представляет геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем – (1 + i ) 1/p .Сумма членов этой прогрессии

. (71)

2. Начисление процентов (число раз) совпадает с числом выплат в год.

На практике такие случаи встречаются достаточно часто. Здесь p = m , и подставляя в формулу (67) вместоi – j/m , а вместо числа лет – число периодов выплат ренты n·p = n·m , и учитывая, что член ренты равен R/p = R/m получим:

. (72)

3. Общий случай.

Здесь мы имеем p выплат в год, на которые проценты начисляются m раз (p ¹ m ). Общее количество членов ренты равно n·p , величина члена ренты – R/p . Члены ренты с начисленными на них процентами образуют геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем (1 + j/m ) m/p . Сумма членов такой прогрессии (или, в нашем случае, наращенная сумма)

. (73)

Пример 47.

Клиент в течение 5 лет в конце каждого квартала перечисляет в банк по 200 руб. Какая сумма будет на счету в конце срока, если проценты начисляются: а) ежеквартально; б) по полугодиям. Процентная ставка – 6%.

При начислении процентов по полугодиям получим:

Следовательно, при изменении хотя бы одного из дополнительных условий финансовой ренты изменяется размер наращенной суммы.

Будущую стоимость обычной ренты с разными условиями платежа обозначим S (p , m) , т.е., например, годовая рента с начислением процентов в конце года будет записана S (1,1) , а годовая рента с начислением процентов m раз в году будет обозначена S (1, m) и т.д.

Сравним будущие стоимости обычных рент для одних и тех же размеров выплат и срока ренты, но с различными условиями платежа.

Пусть n = 5, R = 1, i = 0,08 (сложная процентная ставка):

а) для случая p = 1, m = 1:

Б) если p = 1, m = 2, то величина наращенной суммы будет равна

в) при p = 2, m = 1, т.е. полугодовая рента с начислением процентов в конце года приведет к следующей величине наращенной суммы:

г) при равенстве p и m, т.е., например, при p = 2, m = 2:

д) если p = 2, m = 4, т.е. при полугодовой ренте с ежеквартальным начислением процентов, получим следующую наращенную сумму:

е) для p = 4, m = 2:

С помощью приведенных неравенств можно заранее сравнить конечные результаты наращения потоков платежей, не прибегая к точным вычислениям. Покажем это на следующем примере: арендодатель предлагает арендатору ежемесячно (в конце месяца) переводить арендную плату в банк, где проценты будут начисляться ежеквартально (в конце квартала).

Арендатор же предлагает воспользоваться услугами другого банка, где проценты начисляются ежемесячно, но при этом предлагает вносить арендную плату ежеквартально (в конце каждого квартала).

Какой вариант платежей более выгоден арендодателю, если в течении года деньги будут оставаться на счете?

Воспользуемся приведенным неравенством для сопоставления наращенных сумм.

В первом варианте p = 12, m = 4, т.е. p>m>1.

Во втором варианте p = 4, m = 12, т.е. m>p>1.

Согласно приведенному выше неравенству наращенная сумма по варианту, предложенному арендатором, будет меньше, S 2

Приведем расчет наращенной суммы за год (n=1), приняв во внимание, что годовая арендная плата в том и другом вариантах равна R.